LSSVM回帰の理論的背景

最小二乗支持ベクトルマシン（LSSVM）は、標準的なSVMの二次計画問題を線形連立方程式の求解に簡略化したモデルです。これにより、計算コストを大幅に削減しながら、高い汎化性能を維持することが可能になります。

1. 目的関数と制約条件

LSSVM回帰における最適化問題は、以下の損失関数を最小化することとして定義されます。

最適化対象:
$\min_{w,b,e} \mathcal{J}(w, e) = \frac{1}{2}w^T w + \frac{\gamma}{2} \sum_{i=1}^{N} e_i^2$

制約条件:
$y_i = w^T \phi(x_i) + b + e_i, \quad i=1, \dots, N$

ここで、$\phi(\cdot)$ は高次元特徴空間への写像、$\gamma$ は正則化パラメータ（誤差へのペナルティ重み）、$e_i$ は誤差項を表します。

2. 代表的なカーネル関数

非線形問題を解くために、以下のカーネル関数が一般的に利用されます。

MATLABによる実装プロセス

1. データの準備と前処理

回帰分析を行う前に、データのスケーリングを行い、学習用と検証用に分割します。

% データの読み込み
rawData = readmatrix('regression_data.csv');
inputs = rawData(:, 1:end-1);
targets = rawData(:, end);

% データ分割（80% 学習, 20% テスト）
totalSamples = size(inputs, 1);
trainIdx = 1:round(totalSamples * 0.8);
testIdx = round(totalSamples * 0.8) + 1:totalSamples;

xTrain = inputs(trainIdx, :);
yTrain = targets(trainIdx, :);
xTest = inputs(testIdx, :);
yTest = targets(testIdx, :);

% 正規化（0〜1の範囲にスケーリング）
[xNorm, xSettings] = mapminmax(xTrain', 0, 1);
[yNorm, ySettings] = mapminmax(yTrain', 0, 1);
xTestNorm = mapminmax('apply', xTest', xSettings);

2. LSSVMモデルの構築と訓練

ハイパーパラメータ（gamma, sig2）を設定し、モデルを学習させます。

% ハイパーパラメータの設定
gammaValue = 15;    % 正則化パラメータ
sigmaSquared = 0.5; % RBFカーネルの幅

% モデルの初期化と学習
% 'f' は関数近似（回帰）を意味する
modelStruct = initlssvm(xNorm', yNorm', 'f', gammaValue, sigmaSquared, 'RBF_kernel');
trainedModel = trainlssvm(modelStruct);

3. 予測と精度評価

訓練済みモデルを使用してテストデータに対する予測を行い、評価指標を算出します。

% テストデータでの予測実行
yPredNorm = simlssvm(trainedModel, xTestNorm');

% 逆正規化
yPred = mapminmax('reverse', yPredNorm, ySettings);

% 指標の算出 (RMSE, R2)
errorVals = yTest' - yPred;
rmseVal = sqrt(mean(errorVals.^2));
rSquared = 1 - sum(errorVals.^2) / sum((yTest' - mean(yTest)).^2);

fprintf('RMSE: %.4f\n', rmseVal);
fprintf('R2 Score: %.4f\n', rSquared);

ハイパーパラメータの最適化戦略

グリッドサーチによるパラメータ探索

最適なモデル精度を得るために、異なるパラメータの組み合わせをループで検証します。

gRange = [1, 10, 50, 100];
sRange = [0.01, 0.1, 1, 10];
minError = inf;

for g = gRange
    for s = sRange
        m = initlssvm(xNorm', yNorm', 'f', g, s, 'RBF_kernel');
        m = trainlssvm(m);
        p = simlssvm(m, xTestNorm');
        currentRmse = sqrt(mean((yTest' - mapminmax('reverse', p, ySettings)).^2));
        
        if currentRmse < minError
            minError = currentRmse;
            bestParams = [g, s];
        end
    end
end

応用事例と手法の比較

実用シナリオ

• 再生可能エネルギー予測: 風速や日射量データに基づく発電出力の短期予測。
• 産業プロセスの監視: センサーデータを利用した機器の劣化予測や異常検知。
• 時系列データの補完: 欠損している観測値の推定。

モデル性能の傾向比較

実務上の注意点と解決策

1. 過学習の抑制: gammaパラメータを調整して正則化を強めるか、クロスバリデーション（交差検証）を導入して汎化性能を確認します。
2. 計算リソースの管理: サンプル数が数万件を超える場合、カーネル行列のサイズが膨大になるため、Nyström法などの低ランク近似手法を検討してください。
3. 多出力回帰: 複数の目的変数を同時に予測する場合は、モデル構造を多出力対応（'m' モード）に設定して初期化します。