アルゴリズムの全体構成

非線形かつ非定常性を有する複雑な信号処理において、局所的平均分解（LMD）とJADE（Joint Approximate Diagonalization of Eigenmatrices）を統合したハイブリッドアルゴリズムを提案する。本手法の処理フローは以下の3つの段階で構成される。

1. LMDによる分解と特徴拡張：元の信号を複数の乗積関数（Product Function, PF）に分解し、それらの時系列特性を用いて特徴空間の次元を拡張する。
2. JADEによる独立成分分析：高次統計量を利用して混合信号から独立成分を分離し、本質的な信号特徴を抽出する。
3. 特徴の統合と圧縮：主成分分析（PCA）やt-SNEなどを用いて、抽出された高次元特徴を重要な情報を保持したまま圧縮する。

LMDを用いた信号分解と次元拡張の実装

以下のMatlabコードは、入力信号をLMDにより分解し、各PF成分に加えて瞬時周波数と振幅を計算することで特徴行列を構築する関数である。

function featureMatrix = lmdFeatureExtraction(inputSignal, maxIterations)
    % 入力: inputSignal - 処理対象の信号ベクトル
    % 出力: featureMatrix - 次元拡張後の特徴行列
    
    % LMDアルゴリズムの適用
    [productFunctions, ~] = performLmd(inputSignal); 
    numComponents = size(productFunctions, 1);
    timeSteps = length(inputSignal);
    
    % PF成分を格納する行列の初期化
    featureMatrix = zeros(timeSteps, numComponents);
    for idx = 1:numComponents
        featureMatrix(:, idx) = productFunctions(idx, :);
    end
    
    % 瞬時パラメータの計算と特徴への結合
    [instAmplitude, instFrequency] = getInstantaneousParams(featureMatrix);
    featureMatrix = [featureMatrix, instAmplitude, instFrequency];
end

% LMD分解の中核ロジック（簡略化版）
function [pfs, residual] = performLmd(signalData)
    residual = signalData;
    pfs = [];
    
    while ~isMonotonic(residual)
        [localMean, envelope] = computeLocalMeanEnvelope(residual);
        demodulated = residual - localMean;
        normalized = demodulated ./ envelope;
        
        [newPf, ~] = pureFrequencySignal(normalized);
        pfs = [pfs; newPf];
        residual = residual - newPf;
    end
end

JADEアルゴリズムによるブラインドソース分離

次に、LMDで生成された高次元特徴行列に対し、JADEアルゴリズムを適用して独立成分を分離する実装例を示す。このプロセスには白色化と4次累積量行列の同時対角化が含まれる。

function separatedSources = jadeDecomposition(dataMatrix)
    % 入力: dataMatrix - LMDで拡張された特徴行列
    % 出力: separatedSources - 推定された独立ソース
    
    [dim, samples] = size(dataMatrix);
    obsMatrix = dataMatrix' / sqrt(samples);
    
    % 1. データの白色化処理
    [eigVecs, eigVals] = eig(cov(obsMatrix));
    whiteningMatrix = eigVecs * inv(sqrt(eigVals)) * eigVecs';
    whitenedData = whiteningMatrix * obsMatrix;
    
    % 2. 4次累積量行列の計算セット
    cumulantSet = cell(1, dim);
    for k = 1:dim
        cumulantSet{k} = estimateFourthOrderCumulant(whitenedData, k-1);
    end
    
    % 3. ヤコビ法による同時対角化
    [mixingMatrix, ~] = jacobiJointDiagonalization(cumulantSet);
    separatedSources = (mixingMatrix' * whitenedData')';
end

% ヤコビ回転を用いた同時対角化
function [V, diagonalMatrices] = jacobiJointDiagonalization(matrixSet)
    n = size(matrixSet{1}, 1);
    V = eye(n);
    tolerance = 1e-6;
    maxLoops = 100;
    
    for iter = 1:maxLoops
        for p = 1:n-1
            for q = p+1:n
                rotMatrix = buildGivensRotation(matrixSet, p, q);
                matrixSet = rotateMatrices(matrixSet, rotMatrix, p, q);
                V = V * rotMatrix';
            end
        end
        
        % 収束判定
        offDiagSum = sum(cellfun(@(M) sum(abs(M - diag(diag(M)))), matrixSet));
        if offDiagSum < tolerance
            break;
        end
    end
    diagonalMatrices = cell2mat(matrixSet);
end

手法の技術的優位性と性能評価

本手法では、信号の物理的特性を保持したまま次元を拡張し、高次統計量の情報を活用することで、従来法よりも高い分離精度を実現している。

1. 時周波数特徴の統合戦略
LMD分解により得られた各PF成分は、元信号の局所的な振幅変調および周波数変調特性を表している。これらに瞬時周波数や振幅を結合させることで、ブラインドソース分離において独立成分同士の識別性が高まる高次元特徴空間を構築する。

2. 高次統計量に基づく最適化
JADEアルゴリズムは4次累積量行列の対角化を利用するため、非ガウス性の強い信号に対して高い感度を示す。また、ヤコビ回転によるGivens回転を適用することで、対角化プロセスの収束速度を向上させている。

3. 性能比較
従来のLMD単体手法と比較した場合の性能指標は以下の通りである。

実験結果より、LMDとJADEの併用は、故障診断やバイオメディカル信号解析など、信号の分離精度が求められる分野において有効であることが確認できる。